PENGANTAR STATISTIK SOSIAL

HAND - OUT

PENGANTAR STATISTIK SOSIAL

Materi : Pengertian Statistik

Kata Statistik berasal dari bahasa latin yakni status yang berarti negara. Perkembangan awalnya statistik diartikan sebagai keterangan-keterangan yang dibutuhkan oleh negara dan berguna bagi negara itu sendiri. Dalam pengertian ini statistik hanya diartikan sangat terbatas yaitu sekumpulan data atau angka mengenai kondisi penduduk

Beberapa definisi statistik:

Menurut Croxton dan Cowden :

“ Statistik adalah metode untuk mengumpulkan, mengolah dan menyajikan serta menginterpretasikan data yang berwujud angka”

Menurut Anderson dan Bancroft:

“ Statistik adalah ilmu dan seni perkembangan dan metode paling efektif untuk pengumpulan, pentabulasian, dan penginterpretasian data kuantitatif sedemikian rupa sehingga kemungkinan salah dalam kesimpulan dan estimasi dapat diperkirakan dengan penggunaan penalaran induktif yang didasarkan pada probabilitas atau teori peluang”

Menurut Sutrisno Hadi :

“Statistik kegiatan ilmiah untuk mengumpulkan, menyusun, meringkas dan menyajikan data penyelidikan. Selanjutnya data diolah dan menarik  kesimpulan secara teliti serta membuat keputusan yang logik dari hasil pengolahan data. (batasan umum)

Statistik digunakam untuk menunjuk angka-angka pencatatan dari suatu kejadian atau kasus tertentu (batasan khusus)

Menurut Sudjana :

“ Statistik adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan dan analisis serta penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan analisis yang dilakukan”

Menurut Steel dan Torrie :

“Statistik adalah metode yang memberikan cara-cara guna menilai ketidaktentuan dari penarikan kesimpulan yang bersifat induktif”.

Menurut Kirk W. Elifson :

“Statistics : A collection of numerical facts expressed in summarizing statements; method of dealing with data : a tool for collecting, organizing, and analyzing numerical facts or observations that are collected in accordance with a systematic plan”.  

Menurut J. Supranto :

Ada 2 pengertian statistik:

a). Dalam arti sempit statistik adalah data ringkasan yang berbentuk angka (kuantitatif)

b). Dalam arti luas statistik adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian dan analisis data serta cara penarikan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang menyeluruh.

Menurut Djarwanto Ps.:

“Statistik adalah kumpulan angka-angka yang berhubungan dengan atau melukiskan suatu persoalan”.

Kesimpulan : Statistik merupakan ilmu yang mempelajari seluk beluk data berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan, penganalisisan, penafsiran dan penasrikan kesimpulan dari data yang berbentuk angka-angka.

Inti / komponen kegiatatan statistik :

-       Data

-       Berkaitan dengan angka-angka

-       Kegiatan pengumpulan dan pengolahan data

-       Kegiatan analisis data

-       Penarikan kesimpulan

-       Membuat keputusan

 Apakah metode Statistik itu?

Metode statistik merupakan ilmu pengetahuan yang meliputi segala metode guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan dan menganalisis data kuantitatif secara deskriptif.

Fokus kegiatan adalah pengumpulan dan penataan data serta penggunaan pengukuran yang sifatnya menyederhanakan. 

Menurut Croxton dan Cowden definisi tersebut lebih menekankan pada teknik mengumpulkan, mengolah, menyederhanakan, menyajikan dan menganalisis data kuantitatif secara deskriptif untuk memberikan deskripsi terhadap suatu peristiwa. Oleh sebab itu dinamakan metode statistik deskriptif.

Selanjutnya Croxton dan Cowden memberi definisi statistik yang lebih luas yakni metode guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis dan menginterpretasi data yang berwujud angka-angka.

Kata interpretasi bermakna penarikan kesimpulan dari hasil analisis yang dilakukan atas dasar data kuantitatif yang terbatas. Artinya metode statistik tidak hanya memberikan teknik pengumpulan, pengolahan, penyajian dan analisis data semata melainkan juga memberikan teknik penarikan kesimpulan tetntang ciri populasi dari hasil pengukuran yang dilakukan terhadap sampel yang telah dipilih secara random.

Metode penarikan kesimpulan umum tersebut sesungguhnya merupakan inti dari statistik modern yang kemudian populer dengan sebutan statistik inferensial.

Bidang kajian/ cakupan statistik deskriptif :

1. Distribusi frekuensi
2. Penyajian grafik, bagan dan diagram
3. Pengukuran tendensi sentral/ pemusatan (mean, median, modus)
4. Pembagian distribusi (kuartil, desil, persentil)
5. Variabilitas (range, mean deviasi, standar deviasi, Z score )
6. Angka indeks
7. Time series (deret waktu atau data berkala)

Bidang Kajian statistik Inferensial :

1. Probabilitas/ teori kemungkinan
2. Distribusi teoritis
3. Sampling dan distribusi sampling
4. Studi estimasi (penaksiran pada tingkat populasi )
5. Uji hipotesis
6. Analisis korelasional dan uji signifikansi
7. Analisis regresi untuk peramalan.

Berdasarkan bentuk distribusi parameternya statistik dibagi menjadi :

1. Statistik parametrik : bagian statistik di mana parameter populasi diketahui mengikuti distribusi normal dan memiliki varians yang homogen.
2. Statistik non parametrik : Jenis statistik  di mana parameter populasi tidak mengikuti distribusi normal atau distribusi bebas (free distribution) dan varians tidak perlu homogen.

Berdasarkan bidang atau ruang lingkup penggunaan statistik dibagi:

1. Statistik sosial
2. Statistik pendidikan
3. Statistik ekonomi
4. Statistik perusahaan
5. Statistik pertanian
6. Statistik kesehatan
7. Statistik psikologi
8. Statistik kimia, biologi dan sebagainya

 Peran dan fungsi statistik dalam kegiatan riset

Menurut Guildford :

1. Statistik memungkinkan pencatatan paling eksak data penelitian
2. Memberikan cara untuk melakukan pengolahan data dalam bentuk angka
3. Memberikan arahan berpikir / tata kerja yang definit dan eksak
4. Memberikan cara meringkas data dalam berbagai bentuk
5. Sebagai dasar menarik kesimpulan
6. Memberikan landasan untuk melakukan ramalan (prediksi)
7. Memungkinkan peneliti mampu menganalisis dan menjelaskan serta menguraikan sebab akibat yang kompleks dan rumit.

Mengapa perlu statistik?

1. Untuk menjelaskan hubungan antar variabel
2. Untuk melakukan estimasi dan melakukan perbandingan / komparasi
3. Menyusun perencanaan dan membuat ramalan
4. Mengatasi berbagai perubahan
5. Membuat keputusan secara lebih baik
6. Menampilkan hasil penelitian dan analisis praktis dalam berbagai bentuk

Fungsi Statistik dalam kegiatan praktis :

1. Bank data
2. Alat quality control ( menyusun standar sekaligus pengawasan)
3. Alat pengumpulan, pengolahan dan analisis
4. Pemecahan masalah dan pembuatan keputusan sebagai dasar kebijakan

PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK, BAGAN DAN DIAGRAM

Hal yang perlu diperhatikan ketika membuat grafik :

1. Menentukan sumbu absis (X) dan ordinat Y). Sumbu absis mencantumkan nilai dan sumbu ordinat mewakili frekuensi.
2. Menentukan perbandingan antara X dan Y. Lazimnya sumbu X dibuat lebih panjang.
3. Pemberian nama pada tiap sumbu.
4. Pemberian nama pada grafik.

Jenis Grafik, Bagan dan Diagram :  Histogram, Poligon, Ogive, Bagan melingkar, grafik batang, kartogram, Piktogram, diagram garis, bagan piramida.

1. Histogram

Grafik ini disebut juga Bar diagram yakni grafik berbentuk segi empat. Dasar pembuatan dengan menggunakan batas nyata atau titik tengah.

2. Poligon

Grafik ini juga populer dengan sebutan poligon frekuensi. Dibuat dengan  menghubungkan titik tengah dalam bentuk garis (kurve). Grafik ini mendasarkan pada titik tengah dalam pembuatannya.

3. Grafik Ogive

Disebut juga grafik frekuensi meningkat, karena cara pembuatannya dengan menjumlah frekuensi pada tiap nilai variabel.

4. Bagan melingkar/ grafik melingkar

Yaitu grafik atau bagan berupa lingkaran yang telah dibagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan proporsi data. Biasanya dinyatakan dalam persen.

5. Grafik Batang atau balok

Yaitu grafik yang berbentuk persegi panjang yang lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran sesuai data yang bersangkutan. Setiap batang tidak boleh saling melekat atau menempel dan jarak tiap batang harus sama. Susunan grafik ini boleh tegak atau mendatar.

6. Kartogram atau peta statistik

  Yaitu grafik data berupa peta yang menunjukkan kondisi data dan diwakili oleh lambang tertentu dalam sebuah peta. Biasanya untuk menggambarkan kepadatan penduduk, curah hujan, hasil pertanian, hasil penjualan, hasil pertambangan dan sebagainya.

7. Piktogram

Yaitu grafik data yang menggunakan gambar atau lambang dalam penyajiannya. Satu lambang bisa mewakili jumlah tertentu.

8. Grafik garis

 Yaitu grafik data berupa garis yang diperoleh dari ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bilangan. Grafik ini dibuat dengan 2 sumbu yakni sumbu X menunjukkan bilangan yang sifatnya tetap, seperti tahun, ukuran dan sebagainya. Sedangkan pada sumbu Y ditempatkan bilangan yang sifatnya berubah-ubah seperti, harga, biaya dan jumlah.

PENGUKURAN TENDENSI SENTRAL

Dalam kenyataan seringkali ditemukan data hasil pengukuran menunjukkan kondisi sangat beragam. Artinya, dalam aktivitas pengamatan, penelitian atau observasi tidak jarang dijumpai data yang berhasil dihimpun tidak sama atau berbeda antara satu dengan yang lainnya. Pengukuran terhadap variabel besar penghasilan, lama tinggal, usia, kecerdasan, berat badan, tingkat pendidikan, tingkat produktivitas kerja dan sebagainya kerapkali memperlihatkan data yang bervariasi. Dengan kata lain distribusi data yang tersusun ada kemungkinan akan memperlihatkan karakteristik data yang relatif homogen atau heterogen.

      Apabila sejumlah individu diamati salah satu karakteristik atau sifatnya, selanjutnya data hasil pengamatan ditampilkan dalam bentuk grafik poligon maka bentuk grafik yang nampak akan sangat beragam pula. Salah satu kemungkinan grafik yang akan nampak adalah grafik dengan bentuk normal. Artinya, distribusi data yang tersusun memiliki kecenderungan sebagian besar berada di tengah dan semakin jauh menyimpang dari harga indeks (ukuran) normalitas, baik ke kiri maupun ke kanan maka jumlah individu yang berada pada tiap ujung kian sedikit jumlahnya.

      Salah satu tugas statistik adalah menentukan suatu angka di sekitar mana nilai-nilai dalam distribusi memusat. Dengan kata lain salah satu tugas statistik adalah menentukan angka yang menjadi pusat suatu distribusi. Angka/ nilai yang menjadi pusat suatu distribusi selanjutnya disebut tendensi sentral atau kecenderungan tengah. Ada 3 jenis pengukuran tendensi sentral yang sangat penting yaitu; Mean, Median dan Mode/ modus. Ketiga jenis pengukuran tendensi sentral tersebut memiliki pengertian, asumsi dan tujuan serta metode penghitungan yang berbeda.

a). Mean/ Rata-rata  ( X )

Pengukuran mean atau rata-rata sangat sering digunakan dalam analisis statistik. Mean diterapkan dengan tujuan untuk menentukan angka/ nilai rata-rata dan secara aritmatik ditentukan dengan cara menjumlah seluruh nilai dibagi banyaknya individu. Pengukuran rata-rata dapat diterapkan dengan asumsi bahwa data yang diperoleh dari hasil pengukuran berskala interval dan rasio. 

Bagaimana menentukan harga mean atau rata-rata? Setidaknya ada 3 metode penghitungan untuk  menentukan harga mean yakni;

                               X

1. Mean  (  X  )  =  ------  ;      Jumlah nilai dibagi banyaknya individu.

                               N

2. Mean yang ditimbang : menentukan rata-rata jika data ada frekuensinya

                            FX

    Mean ( X ) = -------- ;    Jumlah  frek. kali nilai dibagi total frekuensi.

                             N

3. Menghitung  mean pada kasus data bergolong bisa dilakukan dengan rumus mean    

    terkaan sebagai berikut :

  fx’

Mean (X)  =  MT  +      -----     i.

                                       N

Keterangan : 

MT     : mean terkaan/ mean kerja, ditentukan titik tengah dari interval nilai di     

            mana harga mean diterka.

    Fx’  : jumlah deviasi kesalahan akibat terkaan

N        : jumlah individu/ total frekuensi.

i          : lebar interval 

b). Median (Mdn)

Median adalah nilai yang menjadi batas 50 persen distribusi frekuensi bagian bawah dan 50 persen distribusi frekuensi bagian atas. Ringkasnya median adalah nilai yang membagi distribusi menjadi 2 bagian yang sama yakni 50 persen, 50 persen.

Harga median bisa ditentukan dengan beberapa formulasi tergantung pada kasus yang dihadapi.

1). Jika berhadapan dengan data tunggal

·         Median = X (k+1) atau nilai yang ke k + 1    ---à untuk kasus n ganjil 

                                             N - 1

di mana n = 2 k+1     dan  k  =  -------

                                               2

·         Median =  ½ ( X k  + X k+1)   --------à  untuk n genap

                                                  N

di mana n = 2 k   dan     k  =  --------                                             

                                                  2

2). Jika berhadapan dengan data bergolong

                                          ½  N - Cfb

·         Median  =    Bb  +   -------------    i

                                                 Fd

Keterangan :

Bb : Batas bawah nyata dari interval kelas yang mengandung median

Cfb. : Frekuensi kumulatif dibawah interval  kelas yang mengandung median

Fd   : Frekuensi dalam interval yang mengandung median

i.      : Lebar kelas/ interval

N     : Banyak individu atau jumlah frekuensi

c). Modus/ Mode

Secara sederhana modus didefinisikan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi paling banyak. Satu hal yang perlu diingat bahwa modus adalah persoalan nilai bukannya frekuensi. Frekuensi hanya menunjuk intensitas kemunculan sesuatu nilai.  Pada data tunggal menentukan mode/modus mungkin tidaklah terlampau sulit. Hanya dengan memperhatikan nilai yang memiliki frekuensi terbanyak maka dapat diidentifikasi nilai modus/mode dari distribusi data. Hal ini agak berbeda jika berhadapan dengan data bergolong. Apabila data yang dihadapi bergolong menentukan harga modus ada 2 pendekatan, yakni pertama, dengan menentukan mid point atau nilai tengah dari interval kelas yang memiliki frekuensi terbanyak dan kedua dengan formulasi sebagai berikut:

                      i            f     --     f

Mo =  Xo  +  ----- .  ---------------------

                                  2        2 fo  -- f  --   f

Keterangan :

Mo  adalah harga modus yang dicari

Xo :  Titik tengah dari interval kelas yang mengandung modus

i    :  Interval / lebar kelas

fo  : Frekuensi dalam interval kelas yang mengandung mode/modus

f    : Frekuensi sebelum interval kelas yang mengandung mode/ modus

f    : Frekuensi sesudah interval kelas yang mengandung mode/ modus

Satu catatan bahwa dalam suatu distribusi data sangat dimungkinkan harga atau nilai mode/modus lebih dari satu. Jika nilai mode/modus hanya satu disebut dengan unimode, dua nilai mode disebut dwi mode dan lebih dari dua nilai mode/modus dinamakan multimode.

*                   *                      *

PEMBAGIAN DISTRIBUSI

(Pengukuran Kuartil, Desil dan Persentil)

            Salah satu fungsi statistik yang kerap diterapkan baik dalam aktivitas riset maupun kepentingan praktis adalah menentukan/ menyediakan “ukuran”, batas atau norma. Norma, batas atau ukuran digunakan sebagai pedoman untuk memisahkan sejumlah individu ke dalam beberapa bagian dengan di dasarkan pada kenyataan atau data. Pada materi terdahulu telah disinggung pengukuran median yang berfungsi sebagai alat untuk menentukan batas dari 50 persen distribusi frekuensi bagian bawah dan 50 persen bagian atas. Dengan median kelompok dipisahkan menjadi 2 bagian yakni kelompok dibawah atau kelompok yang berada diatas nilai median. Artinya melalui pengukuran median bisa ditentukan nilai yang membatasi 50 persen distribusi bagian bawah dan 50 persen bagian atas.

            Jika pengukuran median digunakan untuk menentukan nilai batas, norma atau ukuran atas nilai kelompok yang dibagi menjadi 2 bagian, maka kuartil adalah pengukuran yang dilakukan untuk menentukan nilai batas jika distribusi frekuensi dibagi menjadi 4 bagian. Sedangkan desil diaplikasikan jika distribusi data dibagi menjadi 10 bagian serta persentil untuk distribusi frekuensi yang dibagi menjadi 100 bagian. Untuk bahasan lebih detail berikut ini diuraikan teknik pengukuran kuartil, desil dan persentil, cara pengukuran serta fungsi dan asumsi bagi penerapan pengukuran tersebut.

I. Kuartil  (K)

Kuartil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap 25 persen dalam distribusi frekuensi.

Fungsi kuartil untuk menentukan nilai batas tiap 25 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Oleh sebab itu teknik ini diterapkan jika analisis dilakukan dengan tujuan untuk membagi distribusi menjadi 4 bagian, selanjutnya menentukan batas tiap 25 persen distribusi dimaksud.          Dalam  statistik dikenal ada 3 nilai kuartil yakni; kuartil 1 (K1), kuartil 2 (K2) dan kuartil ke 3 (K3).

Kuartil pertama (K1) adalah suatu nilai yang membatasi 25% distribusi bagian bawah dan 75 % distribusi bagian atas.

Kuartil kedua (K2) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini kuartil kedua dapat diidentikkan dengan pengukuran median (Mdn).

Kuartil ketiga (K3) adalah nilai yang membatasi 75% distribusi bagian bawah dan 25% distribusi bagian atas.

Asumsi teknik pengukuran kuartil : data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala interval.

Cara menentukan harga kuartil :

a). Jika berhadapan dengan data tunggal atau tanpa frekuensi 

                                    i ( n + 1)

Ki  = nilai yang ke      -------------;  di mana i = 1, 2 dan 3 atau K1, K2 dan K3

                                          4

i menunjukkan kuartil ke berapa yang hendak dihitung; sedangkan n = jml individu / frek.

b). Apabila berhadapan dengan data bergolong atau distribusi frekuensi bergolong, menentukan harga kuartil dapat dilakukan dengan rumus :

                        n/4 N - cfb

Kn  = Bb +  ( -----------------  ) x  i

                              Fd

Keterangan :

Kn        : nilai kuartil yang dicari (K1, K2 atau K3)

Bb        : batas bawah nyata dari interval yang mengandung kuartil  

Cfb       : frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung kuartil

Fd        : frekuensi dalam interval kelas yang mengandung kuartil

i           :lebar interval/ lebar kelas

n/4 N    : komponen yang menunjuk pada urutan kuartil. Jika ¼ N artinya kuartil pertama.   

2. Desil  (D)

Desil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap 10 persen dalam distribusi frekuensi.

Fungsi desil untuk menentukan nilai batas tiap 10 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Teknik ini diterapkan jika kelompok atau distribusi data dibadi menjadi 10 bagian yang sama, untuk selanjutnya menentukan batas tiap 10 persen distribusi dimaksud. Dalam  statistik dikenal ada 9 nilai desil yakni; desil 1 (D1), desil 2 (D2), desil ke 3 (D3) dan seterusnya sampai dengan desil ke 9 atau D9.

Desil pertama (D1) adalah suatu nilai yang membatasi 10% distribusi bagian bawah dan 90 % distribusi bagian atas.

Desil kedua (D2) adalah nilai yang membatasi 20% distribusi bagian bawah dan 80% distribusi bagian atas.

Desil kelima (D5) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini desil kedua dapat diidentikkan dengan pengukuran median (Mdn) dan kuartil ke 2 (K2).

Desil kesembilan (D9) adalah nilai yang membatasi 90% distribusi bagian bawah dan 10% distribusi bagian atas.

Asumsi teknik pengukuran desil : data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala interval.

Cara menentukan harga desil :

 a). Jika berhadapan dengan data tunggal atau tanpa frekuensi 

                                    i ( n + 1)

Di  = nilai yang ke      -------------;  di mana i = 1, 2 , 3, 4, .....9. atau D1, D2 dan D3,....D9

                                          10

i menunjukkan desil ke berapa yang hendak dihitung; sedangkan n = jml individu / frek.

b). Apabila berhadapan dengan data bergolong atau distribusi frekuensi bergolong, menentukan harga desil dapat dilakukan dengan rumus :

                        n/10 N - cfb

Dn  = Bb +  ( -----------------  ) x  i

                              fd

Keterangan :

Dn        : nilai desil yang dicari (D1, D2 atau D3)

Bb        : batas bawah nyata dari interval yang mengandung desil 

Cfb       : frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung desil

fd         : frekuensi dalam interval kelas yang mengandung desil

i           :lebar interval/ lebar kelas

n/10 N   : komponen yang menunjuk pada urutan desil. Jika 1/10 N artinya desil pertama.   

3. Persentil  (P)

            Jika desil adalah nilai yang memisahkan distribusi menjadi 10 bagian maka nilai persentil membagi distribusi menjadi 100 bagian yang sama. Oleh karena itu fungsi persentil adalah menentukan nilai batas tiap 1 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Teknik ini diterapkan jika kelompok atau distribusi data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, untuk selanjutnya menentukan batas tiap 1 persen dalam distribusi dimaksud. Dalam  statistik dikenal ada 99 nilai persentil yakni; persentil 1 (P1), persentil 2 (P2), persentil ke 3 (P3) dan seterusnya sampai dengan persentil ke 99 atau P99.

Persentil pertama (P1) adalah suatu nilai yang membatasi 1% distribusi bagian bawah dan 99 % distribusi bagian atas.

Persentil kedua (P2) adalah nilai yang membatasi 2% distribusi bagian bawah dan 98% distribusi bagian atas.

Persentil ke 50 (P50) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini persentil 50 dapat diidentikkan dengan pengukuran median (Mdn) dan kuartil ke 2 (K2) serta desil ke 5 atau D5.

Persentil ke 99  (P99) adalah nilai yang membatasi 99% distribusi bagian bawah dan 1% distribusi bagian atas.

Asumsi teknik pengukuran persentil: data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala interval.

Cara menentukan harga persentil :

 a). Jika berhadapan dengan data tunggal atau tanpa frekuensi 

                                    i ( n + 1)

Pi  = nilai yang ke      -------------;  di mana i = 1, 2 , 3, 4, .....99. atau P1, P2, P3 ,....P99

                                          100

i menunjukkan persentil ke berapa yang hendak dihitung; sedangkan n = jml individu / frek.

b). Apabila berhadapan dengan data bergolong atau distribusi frekuensi bergolong, menentukan harga persentil dapat dilakukan dengan rumus :

                        n/100 N - cfb

Pn  = Bb +  ( -----------------  ) x  i

                              fd

Keterangan :

Pn        : nilai persentil yang dicari (P1, P2 atau P99)

Bb        : batas bawah nyata dari interval yang mengandung persentil 

Cfb      : frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung persentil

fd         : frekuensi dalam interval kelas yang mengandung persentil

i           :lebar interval/ lebar kelas

n/100 N: komponen yang menunjuk pada urutan persentil. Jika 1/100 N artinya persentil pertama (P1) .   

*                       *                      *

JENJANG PERSENTIL (JP)

           

Pengantar

Jenjang persentil (percentile rank) adalah alat statistik yang sering dimanfaatkan untuk mengetahui jumlah individu (dalam persen) yang berada pada dan dibawah nilai tertentu. Ringkasnya jenjang persentil adalah suatu bilangan yang menunjukkan jumlah frekuensi dalam persen yang ada pada dan dibawah nilai tertentu. Jika dari hasil perhitungan diperoleh harga JP 45 adalah 35, hal ini berarti terdapat sebanyak 35 persen individu yang berada pada dan dibawah nilai 45.

            Satu catatan bahwa pengukuran jenjang persentil hanya bisa dioperasikan jika data yang diperoleh dalam bentuk numerik atau angka. Apakah beda antara persentil dengan jenjang persentil? Persentil adalah titik atau nilai yang menjadi batas tiap distribusi frekuensi yang dipersoalkan, sedangkan jenjang persentil adalah bilangan yang menunjukkan jumlah (dalam persen) individu yang berada pada dan dibawah nilai tertentu. Dengan demikian pengukuran persentil diterapkan untuk menentukan titik atau nilai yang menjadi batas sekian persen distribusi frekuensi, sementara jenjang persentil titik atau nilainya sudah diketahui selanjutnya ditentukan jumlah individu (dalam persen) yang berada pada dan dibawah nilai dimaksud.

Cara  Menentukan Harga Jenjang Persentil

            Pada data tunggal barangkali tidaklah terlampau sulit menentukan jumlah individu (dalam persen) yang berada pada dan dibawah nilai tertentu. Pada data tunggal untuk menentukan jumlah individu dalam persen dapat dilakukan melalui teknik distribusi frekuensi kumulatif atau menjumlahkan frekuensi pada tiap nilai variabel yang telah diubah terlebih dahulu dalam persen. Dengan demikian tidak hanya dapat diketahui jumlah individu (%) yang berada pada dan dibawah nilai tertentu saja namun jumlah individu yang berada diatas nilai tertentu juga dapat ditentukan.

Sementara itu jika kita berhadapan dengan data bergolong atau intervalisasi maka salah satu pendekatan yang dapat dilakukan adalah dengan rumus :

              X – Bb                       100

JP =   ( ----------  ) fd   +  cfb   -------

                  i                               N

Keterangan :

JP        : Jenjang persentil yang dicari

X          : Sesuatu nilai yang diketahui

Bb        : Batas bawah (nyata) dari interval yang mengandung X

i           : Lebar interval  

fd         : Frekuensi dalam interval yang mengandung X

cfb       : Frekuensi kumulatif dibawah interval yang mengandung X

N         : Jumlah frekuensi/ individu yang diamati

Berdasarkan formulasi ini maka dalam menentukan harga JP langkah pertama yang perlu dicermati adalah pada nilai berapa yang hendak dihitung JPnya. Misalnya: JP25, JP 30 dan seterusnya tergantung pada nilai berapa (X) yang hendak dihitung jumlah persentasenya. Selanjutnya susunlah frekuensi kumulatifnya dan tentukan cfb dan fd serta, i dan N serta Bb sesuai dengan interval kelas yang mengandung X. Setelah ditentukan seluruh komponen tersebut selanjutnya hitung JP dengan rumus yang telah ada.

Soal Latihan :

1.Tentukan berapa banyak individu yang berada pada dan dibawah nilai 65 dan berapa persen jumlah individu yang berada diatas nilai 50 dari data berikut ini:

Nilai	30	45	50	65	70	75	Jumlah
Frekuensi	5	10	15	8	7	5	50

 

2. Berikut tersaji data tentang besar penghasilan karyawan perusahaan X di kota A yang dinyatakan dalam satuan ribuan setiap bulan.

Penghasilan	301-400	401-500	501-600	601-700	701-800	801-900	Jumlah
Frekuensi	23	13	10	15	20	34	115

Berdasarkan data tersebut tentukan JP625 dan berikan penjelasan/ makna terhadap hasil perhitungan anda!

PENGUKURAN VARIABILITAS

Pengantar

            Dalam praktek statistik kerapkali peneliti atau analis data tidak hanya tertarik untuk menampilkan hasil pengolahan dan analisis data dalam bentuk tabel frekuensi, grafik bagan dan diagram serta pengukuran tendensi sentral (mean, modus dan median) semata. Dalam banyak kasus seringkali informasi lanjut tentang data yang diperoleh dari riset juga dibutuhkan; seperti penyebaran data dari tendensi sentralnya. Dalam terminologi statistik upaya untuk mengetahui penyebaran data dapat dilakukan dengan alat statistik yang disebut variabilitas. Variabilitas sering juga disebut dispersi atau penyebaran. Definisi ringkas variabilitas adalah derajad penyebaran nilai variabel dari suatu tendensi sentral tertentu. Pengukuran variabilitas juga memiliki fungsi penting yakni sebagai alat untuk mengetahui homogenitas dan heterogenitas data. Jika data yang kita hadapi memiliki tingkat penyebaran yang tinggi berarti data cenderung bersifat heterogen. Pemahaman tentang homogenitas dan heterogenitas data dalam kelompok sangat penting tidak hanya untuk kepentingan identifikasi karakter/ ciri kelompok tetapi juga untuk memperoleh pemahaman tentang perbedaan antara dua kelompok atau lebih. Satu catatan yang perlu dicermati dalam pengukuran variabilitas bahwa pengukuran ini dapat diterapkan jika data yang diperoleh dalam bentuk numerik atau berskala interval dan rasio.

Arti Penting Indeks Variabilitas

Pengukuran variabilitas termasuk bidang statistik deskriptif. Pengukuran variabilitas dapat dimanfaatkan untuk kepentingan praktis misalnya; penyusunan standar nilai baik untuk kepentingan akademik maupun praktis dengan menggunakan standar deviasi. Untuk menentukan peloncat tinggi yang diajukan dalam perlombaan seorang pelatih juga memerlukan alat statistik berupa variabilitas untuk memilihnya. Seorang guru atau instruktur juga memerlukan informasi tentang perbedaan variabilitas dalam kecakapan mata pelajaran antar 2 kelas ketika hendak memperlakukan 2 kelas secara berbeda akibat adanya perbedaan kondisi kelas/ murid tersebut. Selain untuk kepentingan praktis pengukuran variabilitas juga memiliki arti teoritik yang sangat penting. Setidaknya melalui pengukuran ini dapat dilakukan indentifikasi tentang ciri kelompok dan perbedaan antar 2 kelompok atau lebih.

Jenis Pengukuran Variabilitas

Pengukuran variablitas terdiri atas beberapa pengukuran antara lain: (a). Range; (b) Mean Deviasi; (c) Standard Deviasi dan (d). Z score atau standar score.

(a). Range

Range atau jarak pengukuran adalah selisih antara nilai tertinggi hasil pengukuran dan nilai terendah hasil pengukuran (R = X tertinggi – X terendah).

Range terdiri atas : (a) Range 10 -90 ; (b). Range 25-75 atau Range Antar Kuartil; (c). Range Semi Antar Kuartil (RSAK).  

(b). Mean Deviasi (MD)

 Mean deviasi atau rata-rata deviasi (penyimpangan) yaitu rata-rata dari deviasi nilai-nilai dari mean dalam suatu distribusi. Dalam hal ini diambil nilai yang absolut artinya deviasi baik yang berarah negatif maupun positif semuanya dianggap positif (+).

(c). Standar Deviasi (SD)

Standar deviasi (SD) secara matematik dibatasi sebagai akar dari jumlah deviasi kuadrad dibagi banyaknya individu.

Catatan : Pemahanan lebih komprehensif tentang variabilitas termasuk formulasi untuk menentukan harga variabilitas, interpretasi dan contoh-contohnya akan disampaikan pada pertemuan kelas yang akan diselenggarakan pada minggu mendatang.

KURVE NORMAL

Pengantar

            Dalam analisis statistik untuk menjelaskan gejala yang diamati seringkali digunakan pengukuran deskriptif antara lain; pengukuran tendensi sentral; pengukuran untuk pembagian distribusi (kuartil, desil dan persentil); jenjang persentil, variabilitas (range, mean deviasi, standar deviasi, Z score) dan sebagainya. Kendati pengukuran deskriptif kerap digunakan tetapi analis data sering memerlukan informasi lebih jauh dan lebih banyak dari sekedar penjelasan deskriptif dengan lingkup gejala yang terbatas. Bagaimana jika analis data ingin memperoleh informasi lebih luas berdasarkan data yang terbatas? Untuk memperoleh pemahaman tentang gejala atau peristiwa lebih luas salah satu instrumen statistik yang dapat dimanfaatkan adalah kurve normal.

Pemahaman tentang kurve normal yang dibentuk dari distribusi normal penting sebagai alat untuk menaksir atau meramalkan peristiwa yang lebih luas. Artinya; jika data kita ketika ditampilkan dalam bentuk kurve membentuk kurve normal maka kita diperbolehkan menaksir atau meramalkan peristiwa lebih luas. Contoh kasus; seandainya diketahui rata-rata (mean) penghasilan pedagang kaki lima (PKL) di kota Surabaya sebesar Rp. 450.000,- tiap bulan.Sementara itu harga 1 SD sebesar Rp. 25.000,- dan jumlah PKL yang diamati sebanyak 1.000 pedagang. Dengan hanya mendasarkan pada 3 jenis informasi tersebut dapatkah kita menentukan jumlah pedagang yang berpenghasilan antara Rp. 460.000,- s/d Rp. 475.000? Berapa proporsi pedagang yang berpenghasilan antara Rp.400.000,-s/d Rp. 425.000,-? Berapa besar penghasilan pedagang yang dapat diklasifikasikan pada 10% kelompok tertinggi? Untuk menjawab beberapa soal ini mungkin cukup sulit jika tidak diketahui “raw data”  atau data mentahnya. Jika ada asumsi bahwa besar penghasilan PKL memiliki kecenderungan berdistribusi normal maka soal tersebut dapat diselesaikan dengan bantuan tabel kurve normal.

CIRI – CIRI KURVE NORMAL  

1. Bentuk Kurve Normal

Kurve normal adalah suatu kurve yang terbentuk atas dasar data dengan distribusi normal. Bentuk kurve normal menyerupai genta atau bel. Jika data kita membentuk distribusi normal maka kesimpulan yang dapat dikemukakan bahwa jumlah individu yang memiliki nilai semakin kecil maupun semakin tinggi jumlah semakin sedikit. Mayoritas individu berada pada nilai di tengah kurva atau di sekitar mean. Satu catatan bahwa sesungguhnya kurve normal dibuat berdasar pada distribusi teoritis dari persamaan matematik dan bukanlah kondisi empiris. Tetapi banyak fakta memperlihatkan bahwa distribusi empiris jika dilakukan secara berulang-ulang akan cenderung mendekati distribusi normal.

2. Daerah Kurve Normal

Daerah adalah ruangan yang dibatasi oleh kurve dan absis. Luas daerah kurve normal dinyatakan dalam persen atau proporsi sekaligus menunjukkan jumlah individu atau frekuensi dalam persen. Dinyatakan dalam persen karena luas daerah meliputi 100 persen. Jika didirikan poros ordinat pada poros absis dengan jarak 1 SD diatas mean pada kurve normal maka luas daerah yang dimaksud seluas 34,13 persen dari luas daerah seluruh kurve. Sebagai catatan besar persentase luas daerah 34,13 dan yang lainnya dapat dilihat pada tabel kurve normal. Data ini menunjukkan ada sebanyak 34,13 persen jumlah individu yang berada antara mean dan +1 SD. Kurve normal adalah kurve simetris oleh sebab itu jarak antara M dan 1 SD dibawah mean dan diatas mean luas daerahnya adalah sama yakni; 34,13 persen.

Contoh soal: jika sebanyak 1.000 orang tinggi badannya diukur dan data menunjukkan distribusi normal; maka jumlah individu yang tinggi badannya antara mean sampai dengan 1 SD sebanyak 34,13% X 1.000 orang = 341,3 orang atau 341 orang.

3. Tabel Kurve Normal

Persentase daerah kurve normal (yang mewakili frekuensi) diantara mean dan bermacam-macam jarak dalam satuan SD dicantumkan dalam tabel kurve normal. Tabel ini terdiri dari 2 bagian besar yakni kolom dan baris yang terletak dibagian atas tabel dan bagian dalam tabel. Kolom dan baris di bagian atas tebal menunjukkan Z yakni deviasi nilai dari mean dalam satuan SD dan sebelah dalam menunjukkan luas daerah atau jumlah individu dalam persen. Jika Z sebesar 1,96 artinya bahwa nilai menyimpang sejauh 1,96 dari mean dalam satuan SD. Satu catatan bahwa tabel kurve normal setinggi-tingginya hanya seluas 50% karena hanya menunjukkan sebelah kurva sementara sebelah yang lain sama yakni 50%.

4. Cara Menggunakan Tabel Kurve Normal Untuk Menyelesaikan Soal

Jika ada informasi bahwa rata-rata (mean) penghasilan sebesar Rp. 450.000,- tiap bulan; harga 1 SD sebesar Rp. 25.000,- dan N = 1.000 orang. Dengan mendasarkan pada 3 jenis informasi tersebut maka jumlah individu yang berpenghasilan antara Rp. 460.000,- s/d Rp. 475.000 dapat dihitung dengan langkah: (a). Menetapkan penyimpangan (Z) antara 460.000 – 450.000 dan penyimpangan antara 460.000 dengan 475.000. (b) Dari Z yang telah ditentukan lihat tabel kurve normal berapa (%) luas daerahnya.; (c) selanjutnya tentukan selisih luas daerah antara kedua Z tersebut. (d). Selisih luas daerah (%) tersebut kalikan dengan N dan jumlah itulah yang menunjukkan banyaknya individu yang berpenghasilan antara  460.000 s/d 475.000. (e). Hasilnya adalah : (34,13% - 15,54%) X 1.000 = 185,9 orang atau sekitar 186 orang.

5. Beberapa Soal Latihan

Dengan asumsi bahwa data berdistribusi normal dan diketahui rata-rata (mean) penghasilan sebesar Rp. 450.000,- / bulan; 1 SD sebesar Rp. 25.000,- dan N = 1.000 orang. Selesaikan beberapa soal berikut ini:

a). Berapa banyak individu yang berpenghasilan antara Rp. 400.000,- s/d Rp. 430.000,-?

b). Berapa proporsi individu yang berpenghasilan diatas Rp. 520.000,-?

c). Berapa besar penghasilan yang hanya dapat diperoleh oleh 5% dari kelompok tersebut?

d). Berapa penghasilan yang dapat diperoleh oleh 10% kelompok dengan penghasilan tertinggi?

e). Berapa persen individu yang berpenghasilan Rp. 410.000 keatas?

f). Jika secara random dipilih individu yang berpenghasilan diatas Rp. 530.000,- keatas, berapa  

    besar peluang akan didapatkan individu dengan penghasilan sebesar itu?

*              *              *

ANALISIS DATA

          Analisis data adalah proses penyederhanaan data agar lebih mudah dibaca dan diinterpretasi. Dalam aktivitas ini statistik adalah salah satu alat analisis yang memegang peranan penting, terutama untuk menyederhanakan data, membandingkan hasil (sampel-populasi), melihat hubungan, komparasi maupun prediksi. Disamping analisis data tahapan penting lain adalah melakukan interpretasi baik yang bersifat terbatas/ internal maupun eksternal guna memperoleh makna yang lebih luas yakni dengan merunutkan dengan teori atau hasil penelitian lain yang sejenis. Pada dasarnya jika ditinjau menurut variabelnya analisis dapat dibagi menjadi 3 yakni; univariat (analisis 1 variabel), bivariat (2 variabel) dan multivariate (lebih dari 2 variabel).

          Analisis data dapat dilakukan ketika data yang diperoleh berupa data kategorikal maupun data bersambungan (kontinyu). Untuk data data kategorikal analisis elaborasi atau analisis persentase dengan metode Lazarfeld seringkali dilakukan dan memberikan makna sangat signifikan. Metode ini kerapkali diterapkan sebagai alat analisis terutama ketika hendak diketahui ada tidaknya hubungan antar 2 variabel, arah hubungan dan kekuatan hubungan. Berikut disajikan tabel kosong ( dummy table) untuk melakukan analisis hubungan antar 2 variabel. 

No. dan Judul tabel

Variable  A	Variabel B		Total
	Kat.1 var.B	Kat.2 var B
Kat. 1 Var. A	Sel A	Sel B	Margin baris
Kat. 2 Var. A	Sel C	Sel D	Margin baris
Total	Margin kolom	Margin kolom	Margin total

Sumber data :……..

Catatan :

Menentukan sel tabel 100 persennya berdasarkan posisi var. bebas/ independent/ pengaruh atau var. X.

Untuk membaca/ interpretasi  sel tabel berdasarkan variebel tergantung (var. Y).

Ketentuan :

Dalam analisis korelasional ada 3 hal yang kerapkali dipertanyakan yaitu; (a). Ada tidaknya hubungan; (b). Arah/bentuk hubungan dan (c). kekuatan hubungan.

Ada tidaknya hubungan ditentukan oleh difference percentage atau perbedaan persentase (D%). Jika D%  > 10 persen maka dinyatakan ada hubungan. Selanjutnya untuk arah hubungan bisa diamati berdasarkan kecenderungan persentase yang nampak. Ada 2 jenis arah hubungan yang kerapkali digunakan untuk menunjukkan kecenderungan yang terlihat yaitu arah hubungan yang positif dan hubungan negatif. Hubungan dikatakan positif jika kenaikan variabel X diikuti dengan kenaikan variabel Y atau sebaliknya penurunan variabel X diikuti oleh penurunan variabel Y.  Kekuatan hubungan ditentukan oleh besarnya D%. Hubungan dikatakan kuat jika D% > 20%, sedang : jika D% ant. 10 s/d 20% dan lemah jika D% <10%.

@ Selamat belajar

PROBABILITAS

Ø PENGERTIAN UMUM

Definisi : Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa diantara seluruh peristiwa yang mungkin terjadi.

Probabilitas kemunculan suatu peristiwa atau kejadian biasa disingkat dengan huruf p dan dinyatakan dalam persen atau proporsi. 

Ilustrasi :

Andai pelemparan satu uang logam dilakukan maka p munculnya sisi muka gambar dan angka adalah sama yakni 1/2 atau 0,5 atau 50%.

Jika dadu yang dilempar maka prob. muncul dadu dengan sisi titik 2 (misalnya) maka p adalah 1/6 atau 1:6 atau 0,1667 atau 16,67%

Kesimpulan : Prob. adalah frekuensi suatu kejadian.

Jika p. = 0,05 artinya suatu kejadian kemungkinan muncul 5 kali diantara 100 kejadian; 10 kali diantara 200 kejadian; 50 kali diantara 1000 kejadian dsb.

Jika uang logam dilempar sebanyak 100 kali maka p sisi dengan gambar adalah : 50% x 100 kali = 50 kali.

Jadi Prob. adalah perbandingan frekuensi kejadian dengan kejadian seluruhnya.

Ø HUBUNGAN PROBABILITAS DENGAN KURVE NORMAL

Kurve Normal adalah distribusi teoritik dari frekuensi suatu kejadian ---à terutama dikembangkan hubungannya dengan prob. secara matematik (disebut Kurve normal dari probabilitas).

Ciri Kurve Normal : makin besar deviasi kejadian dari mean maka makin kecil frekuensi dam makin kecil pula probabilitasnya.

Ø HUBUNGAN PROBABILITAS TEORITIK DAN PROBABILITAS EMPIRIS

Kemungkinan muncul atau tidak suatu kejadian disebut : probabilitas kejadian.

Kemungkinan muncul disebut prob. sukses dan kemungkinan tidak muncul disebut probab. Gagal.

Jika prob. sukses diberikan simbol P dan prob gagal diberikan simbol Q maka: kemungkinan timbul antara P dan Q adalah sama yaitu  :   P=Q=1/2.

Karena prob. selalu dihitung dari seluruh kejadian maka :

Prob sukses = P = 1 – Q dan Prob. gagal = Q = 1 – P.

Menurut teori probabilitas jika mata uang logam dilempar sebanyak 10  kali; maka prob. keluar sisi gambar adalah 10 X 1/2 = 5 kali.

Secara empiris diakui bahwa jarang ditemui ketika uang logam dilempar 10 kali maka prob. keluar sisi gambar atau sisi angka adalah 5.

Jika terjadi maka hal tersebut bisa saja merupakan faktor kebetulan.

Tetapi dalam kenyataan  (empiris) perbandingan yang muncul antara sisi gambar atau angka mungkin : 4:6; 7:3; 8:2; dsb.

Probabilitas yang diobservasi : observed probability : biasanya dinyatakan dalam pecahan seperti; 0,1; 0,6; 0,7 dsb.dengan jumlah seluruh probabilitas sebesar 1,00.

Dalam kenyataan terbukti bahwa ketika eksperimen dilakukan secara berulang-ulang maka ada kecenderungan bahwa prob. empiris akan selalu mendekati prob. teoritis.

Konsep probabilitas seringkali dikaitkan dengan hasil suatu eksperimen. Hasilnya juga memperlihatkan kondisi tidak pasti.

Contoh eksperimen :

-      Jika pelemparan uang logam maka hasil yang mungkin adalah sisi gambar dan sisi angka

-      Jika interview terhadap petani  maka hasil yang diperoleh adalah income

-      Jika pengamatan terhadap hasil produksi maka hasil yang mungkin adalah produk yang bagus dan produk yang cacat dsb.

-      Pengukuran waktu reaksi kimia akan menghasilkan data tentang lama reaksi

Ø BEBERAPA DEFINISI YANG BERKAITAN DENGAN PROBABILITAS

Ruang sampel: himpunan yang elemennya merupakan hasil yang mungkin dari suatu ekperimen.

Titik sampel : elemen dari ruang sampel

Peristiwa: Himpunan bagian dri ruang sampel

Peristiwa sederhana : peristiwa yang hanya memuat 1 elemen saja

Peristiwa bersusun: Gabungan (union) dari beberapa peristiwa sederhana

Contoh Soal :

1).Eksperiman : pelemparan sebuah dadu

Hasil: Mata dadu yang tampak diatas

Ruang sampel: S= {1,2,3,4,5,6}

Suatu Peristiwa: A = Titik ganjil yang tampak = {................}

2). Eksperiman: Pemilihan seorang mahasiswa secara random dan pencatatan indeks prestasinya.

Hasil : Bilangan X antara 0 sampai dengan 4

Suatu peristiwa (A):  Indeks prestasi diatas 3 = .......................

Suatu peristiwa (B): Indeks prestasi dibawah 2 = ....................

3).Eksperimen: terdapat 4 pasien yang diberi obat untuk waktu 2 minggu. Sukses atau tidaknya pengobatan untuk tiap pasien dicatat.

Hasil : salah satu hasil yang diperoleh adalah SSST, di mana S menunjukkan suksesnya pengobatan untuk pasien 1,2,3 dan T untuk pasien yang tidak sukses yakni pasien ke 4.

Ruang sampelnya (S) = ...................................................

Suatu peristiwa (A) = lebih separuh dari pasien sembuh = ........

Ø BEBERAPA PERISTIWA

Peristiwa baru dapat dibentuk dari peristiwa yang sudah ada melalui 3 operasi dasar yaitu; (a). Union atau gabungan; (b). Intersection atau irisan dan (c). Komplementasi.

Union 2 peristiwa A dan B ditulis A U B adalah himpunan semua elemen yang berada di dalam himpunan A dan himpunan B (gabungan elemen).

Intersection 2 peristiwa A dan B ditulis A n B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A dan di dalam B.

Komplementasi suatu peristiwa A dan B di tulis dengan A C  adalah himpunan semua elemen yang tidak ada di dalam himpunan A (relatif terhadap S).

Contoh Soal:

1. Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek kartu bridge. Dipandang peristiwa-peristiwa:
A = Kartu yang terambil adalah Ace

B= Kartu yang terambil adalah hati

C= Kartu yang terambil adalah berlian

D= Kartu yang terambil adalah merah

E= Kartu yang terambil adalah hitam

Tentukan :

a). B U C = ....................................

b). B n C = ....................................

c). A n C = ....................................

d). D komplemen : .........................

e). B U C U E = ..............................

2. Jika X menunjukkan indeks prestasi seorang mahasiswa dan

A = { 3 <  x  ≤ 4}

B={  0 ≤  X  < 2 }

C={ 1,5 ≤  X ≤ 3 }

Maka :

a). A U C = ..........................................

b). A n C = ..........................................

c). B n C = ..........................................

d). A U B U C = .....................................

e). A komplemen adalah : ......................

PROBABILITAS DARI KEJADIAN MUTUALLY EXCLUSIVE (M.E) DAN KEJADIAN NOT MUTUALLY EXCLUSIVE (N.M.E)

Kejadian saling meniadakan disebut mutually exclusive atau disjoint.

Dua peristiwa A dan B yang tidakmemiliki elemen berserikat.

Kejadian M. E. Juga disebut kejadian alternatif artinya hanya diharapkan salah satu kejadian dari kemungkinan yang terjadi.

Untuk persitiwa saling asing berlaku rumus :

P ( AUB) = P(A) + P(B)

Sementara itu kejadian Not Mutually Exclusive adalah peristiwa yang tidak saling asing.

Jika munculnya suatu kejadian tidak meniadakan atau diikuti oleh munculnya kejadian lain artinya kejadian bisa muncul bersama-sama maka kejadian tersebut disebut not mutually exclusive.

Untuk peristiwa tidak saling asing berlaku rumus :

P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A n B)

ANALISIS KOMBINATORIK DALAM PROBABILITAS

Permutasi adalah penyusunan obyek sejumlah n yang tiap kali diambil sejumlah r dengan memperhatikan tata urutan/ susunannya.

 Rumus untuk menentukan permutasi :

             n!

nPr =  ---------- 

           (n – r) !

Di mana n ! =  (n) (n-1) (n-2) dst

Kombinasi adalah  seleksi terhadap obyek sejumlah n yang tiap kali diambil sejumlah r tanpa memperhatikan tata urutan/ susunannya.

Rumus untuk menentukan permutasi :

             n!

nCr =  ---------- 

          r! (n – r) !

Contoh soal:

1.Jika A kartu terambil adalah bergambar hati; B kartu terambil bergambar berlian dan C kartu terambil bergambar ace maka :

a). P (AUB) = ............................

b). P (AUC) = ...........................

2. Bilaman peluang kelahiran anak perempuan sama dengan peluang kelahiran anak laki-laki  maka Pr (laki-laki) = 0,5. Probabilitas anak dengan rambut lurus misalnya; Pr (lurus) = 0,1. Berapa besar peluang kelahiran anak laki-laku berambut lurus? ..................................

3.Jika sebuah kotak berisi 12 bola di mana 8 diantaranya merah (ditandai dengan M1, M2, M3,.......M8) dan sisanya biru. Selanjutnya 3 bola diambil sekaligus.

  

1. Berapa banyak hasil berbeda yang mungkin
2. Berapa hasil yang mungkin dengan syarat 2 bola yang terambil biru dan 1 merah?
3. Apabila pengambilan 3 bola dilakukan secara random hingga tiap kumpulan 3 bola memiliki kemungkinan yang sama akan terpilih berpa probabilitas akan diperoleh 2 bola biru dan 1 merah?